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Cálculo con infinitesimales

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    Con este libro el autor le entrega al mundo universitario, a profesores y estudiantes de matemáticas, una importante herramienta didáctica para el estudio del cálculo, que enriquecerá las referencias bibliográficas de los programas oficiales sobre la materia. El cálculo con infinitesimales asocia lo finito con lo infinito, vincula lo discreto con lo continuo, emparenta lo algebraico con lo analítico y acerca la teoría al mundo de la experiencia. Es la introducción al Microcálculo, que es el estudio de los fenómenos del continuo que tienen su origen en lo discreto, mediante el uso de modelos infinitesimales de cálculo. Dirigido a ingenieros, físicos y docentes matemáticos. El cálculo con infinitesimales asocia lo finito con lo infinito, vincula lo discreto con lo continuo, emparenta lo algebraico con lo analítico y acerca la teoría al mundo de la experiencia. Es la introducción al Microcálculo, que es el estudio de los fenómenos del continuo que tienen su origen en lo discreto, mediante el uso de modelos infinitesimales de cálculo. Dirigido a ingenieros, físicos y docentes matemáticos.

    Atributos LU

    TítuloCálculo con infinitesimales
    AutorKemel George
    Tabla de ContenidoPresentación
    Prólogo
    Introducción

    Capítulo 1
    Origen, destierro y renacimiento de los infinitesimales

    ¿Qué es el cálculo?
    Cálculo e infinitud
    Los orígenes
    Las controversias
    El cálculo Leibniziano
    Un nuevo método
    Todo se reduce a un juego
    La regla del producto
    El esplendor y la gloria
    Inconsistencias del cálculo con infinitesimales
    El obispo Berkeley contraataca
    Una etapa de vanas justificaciones
    Expulsión de los infinitesimales
    La época del «Rigor»
    Continuidad y límite
    La recta real
    Crisis de los fundamentos
    Reminiscencias infinitistas
    El análisis no estándar
    Se recupera la honra
    Tendencias del cálculo infinitesimal

    Capítulo 2
    El sistema numérico hiperreal

    Otros números distintos de los reales ordinarios
    Infinitos e infinitesimales
    Tres tipos de cantidades
    El átomo de un real
    El orden de magnitud
    El núcleo de un infinitesimal
    La propiedad Arquimediana
    El número E
    Sucesiones con subíndices hiperenteros
    Recubrimiento infinitesimal de un intervalo
    Construcción del campo de los hiperreales
    Medidas aditivas y ultrafiltros

    Capítulo 3
    Los elementos del cálculo

    La variable
    La diferencial
    La variable independiente
    La variable continua
    Las variables, cómo se usan
    Algebra de variables
    Algebra diferencial
    La variación
    Diferencial de la variable inversa
    Identificación de variables
    La función
    Definición de función
    La dependencia lineal
    Función continua
    Diferencial de una función
    Funciones sobre el dominio continuo
    La función exponencial
    La función seno
    La derivada
    Regla de la cadena
    Derivada de la función inversa
    Continuidad de la función derivable
    Derivada de la función exponencial
    Derivada de funciones trigonométricas
    Derivadas de orden superior
    La integral
    La integral, cómo se usa
    La integral es un promedio
    Integral de la función constante
    Integral de la función lineal
    Integral de la función cuadrática
    Integral de una función discontinua
    Teorema fundamental del cálculo
    Integración por partes
    La fórmula de Abel
    La integral impropia

    Capítulo 4
    Aplicaciones del cálculo con infinitesimales

    La delta de Dirac como función
    La formulación inicial de Dirac
    La teoría de distribuciones de Schwartz
    Un punto de enlace: las funciones generalizadas
    Heurística en física e ingeniería
    Una propuesta de construcción
    La función delta de Dirac
    Derivada de la delta de Dirac
    Derivadas de orden superior
    Derivada del escalón unitario
    Integral de la delta de Dirac
    Las derivadas como se usan
    Integral de convolución
    Solución de una ecuación diferencial
    El fenómeno de no unicidad
    Un nuevo modelo de ecuación diferencial
    Solución de una ecuación de recurrencia
    La convolución y su tránsito al continuo
    Convolución de funciones causales
    La convolución periódica
    Convolución de funciones de duración finita
    La convolución discreta
    Tránsito del discreto al continuo

    Capítulo 5
    Fourier, a la manera tradicional

    Entidades de la teoría
    Diversas aplicaciones
    Notación funcional
    La serie de Fourier SF
    La transformada de Fourier TF
    La transformada discreta de Fourier
    Relaciones de ortogonalidad
    Linealidad y translación
    Modulación y convolución
    Funciones especiales
    La fórmula de Parseval
    Cuestión crucial

    Capítulo 6
    Doloroso tránsito hacia la transformada


    De la serie a la transformada
    Peligroso malabarismo
    La heurística, en bancarrota
    Necesidad de un nuevo modelo

    Capítulo 7
    El dominio de la señal

    El dominio discreto temporal
    El dominio discreto frecuencial
    El modelo tiempo-frecuencia
    Dominio de alta resolución
    El continuo temporal
    El continuo frecuencial
    Conversiones del dominio

    Capítulo 8
    Componentes armónicas y espectrales


    Funciones sobre el dominio discreto
    Pares transformados
    Gráfica de funciones discretas
    Periodicidad discreta
    La exponencial compleja periódica
    Incremento en el número de ciclos
    Periodicidad de la frecuencia
    Relación entre el dominio discreto y periodicidad
    Componentes armónicas y espectrales
    Espectro de la componente armónica

    Capítulo 9
    La transformada discreta de Fourier

    El principio de superposición
    La transformada discreta de Fourier
    Ortogonalidad de las componentes armónicas
    Unicidad de la construcción
    Conservación de la energía

    Capítulo 10
    Serie y transformada

    Entidades dramáticamente distintas
    La heurística en la ingeniería
    El modelo de cálculo
    Conversión de la exponencial compleja
    La transformada discreta se convierte en serie de Fourier
    La serie de Fourier se convierte en transformada de Fourier
    Del discreto al continuo
    Ortogonalidad en el dominio continuo
    Transformada de la delta de Dirac

    Capítulo 11
    La onda cuadrada y su tránsito al continuo

    La onda cuadrada periódica discreta
    Conversión en onda periódica continua
    Conversión en onda cuadrada no periódica

    Capítulo 12
    La transformada discreta de Laplace

    La transformada de Laplace
    La transformada discreta de Fourier
    La transformada discreta de Laplace
    La versión discreta del continuo
    Tránsito del discreto al continuo
    Desarrollo en serie de Laplace

    Capítulo 13
    Muestreo y recuperación de señales

    El enunciado de Shannon
    La paradoja del ancho de banda
    Demostración del teorema del muestreo
    Verdadero impacto en la comunicación
    Muestreo en el dominio discreto
    Funciones muestreadas y periodicidad
    Doble relación entre periodicidad y muestreo
    El teorema del muestreo discreto
    Origen discreto de la versión continua

    Capítulo 14
    El principio de incertidumbre

    Revisión de los conceptos de duración finita y banda limitada
    Concentración y dispersión de la información
    La incertidumbre en mecánica cuántica
    Incertidumbre en dominios discretos

    Capítulo 15
    Estudio de la voz humana

    La voz humana en el salón de clase
    Digitalización de la voz
    La señal de voz representada en números
    Una oración convertida en 23316 enteros
    Gráfica de la voz
    Después de la imagen, el sonido
    Reproducción de listas de datos
    La raíz cuadrada de «Hola»
    Partículas “elementales” del fonema
    El espectro de frecuencias
    Segmentos estacionarios de la señal
    Espectro de frecuencia de un fonema /O/
    El eco
    Produciendo ecos en el computador
    En el fondo de la palabra, el Cepstrum
    Análisis cepstral de un fonema

    Apéndices I y II

    Bibliografía
    TipoLibro
    ISXN9789589702314
    Año de Edición2001
    Núm. Páginas325
    Peso (Físico)540
    Tamaño (Físico)17 x 24 cm

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