Los espacios vectoriales es uno de los temas centrales del álgebra lineal, y su aplicación en otras áreas es fundamental. Por ejemplo, son sumamente importantes en matemática, física e ingeniería. Sobre ellos se pueden definir unas aplicaciones muy interesantes llamadas transformaciones lineales, las que nos permiten hacer generalizaciones a elementos mucho más sofisticados; esto les da a los físicos la oportunidad de intentar describir el universo no solamente desde lo infinitamente grande, sino también desde lo infinitamente pequeño. Estos espacios son importantísimos cuando se trabaja con series de Fourier y ecuaciones diferenciales, porque en ellos se encuentra la solución a muchos problemas planteados por ingenieros y físicos. Los espacios de Banach y los de Hilbert, claves en análisis funcional y en mecánica cuántica, son tan solo un ejemplo de lo que es un espacio vectorial y de la importancia que tienen. En geometría diferencial, por ejemplo, las variedades finito-dimensionales se parecen mucho localmente a un espacio vectorial finito-dimensional, lo cual resulta ser muy atrayente porque de alguna manera po¬demos conocer la estructura de un espacio abstracto a través de uno vectorial. Hay que tener presente que el estudio de las variedades es muy importante en la teoría de la relatividad, porque con ellas se puede hablar de geometrías riemannianas y no euclideas: el mundo en el que vivimos se parece mucho a un espacio vectorial.